一、引子

开始本章之前我先提个问题:“如果一个整数的绝对值等于它自己,那么这个数是几?”如果你回答是 0 和 所有正数,那么请你耐心读完这篇文章吧。

本章是我『代码之谜』系列的第二篇,前一篇『代码之谜 - 开篇/前言/序』简单介绍了计算机与数学的不同。

数学中有许多复杂深刻的矛盾,数学家的工作就是解释或者反驳这些矛盾, 例如有限与无限、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体与抽象、概念与计算等等。

在本章中,我们把目标缩小,主要讨论内容

  • 概念: 有限与无限
  • 对象: 8bit整数

二、绝对值之谜

终于到主题了,也许你很想知道“负数的绝对值可能等于自己吗?”,也就是 “如果x等于-x,那么x有几个解?”按照我一贯的作风,我是不会轻易告诉你答案的。 《编程珠玑》记载,作者告诉了他同事一个结果,而不是方法,最后追悔莫及。 所以,我在这里要告诉你方法,而不是告诉你答案

告诉你答案之前,首先得回答个问题:“整数(8bit)的表示范围是多少?”,(也许你已经把教科书的知识背下来了,是 -2^7 到 2^7 - 1,也就是 -128 到 +127,现在的计算机科学都快成为文科了 ^_^ )。

如果你不知道也没关系,至少你知道 8bit 可以表示的整数个数是 2^8 个,这个数等于多少无所谓,但是,它一定是个偶数(256)。

那么这里就有一个很有意思的问题了,0既不是正数也不是负数,把0去掉的话,整数的个数就是奇数了,整数还剩 255 个。 奇数个整数不可能平均分成两部分(正数和负数),要么负数多一个,要么正数多一个。事实就是,负数比正数多一个,最小的负数是 -128, 最大的整数是 127。

现在的问题是, -128 的绝对值是多少呢? -(-128)等于多少呢?是溢出呢,还是等于它自己呢?也许计算机课本没有告诉你, 整数是不会出现溢出异常的,整数的溢出被认为是正常的舍弃(其实只要很合理)。整数只有被0除才会异常,而浮点数,即使被0除也不会抛出异常。 浮点数除0的操作将放在本系列浮点数篇讨论。

绝对值等于自己的数有两个,0 和最小的负数。

你可能要像香港电影里女主角那样歇斯底里的大喊“绝对值怎么可能是负数呢? 不可能,我不信,我不信…”

忘掉你那可怜的数学知识吧,“发生这种事,大家都不想的。感情的事呢,是不能强求的。所谓吉人自有天相,做人呢,最要紧的就是开心…”跑题了,赶紧回来。

在经典数学(非皮亚诺算术系统,皮亚诺绝对是欧几里德的铁杆粉丝,要不怎么会有如此天才的构想,这个以后会给大家普及)中,绝对值定义为:“从原点到点A的距离,称为A的绝对值,它是一个非负数”。 既然讲到了距离,不妨剧透一下(本系列“逻辑篇”会涉及到),两个数的大小在数学中如何定义,“距离数轴原点的距离远近”,计算机中大小如何定义的呢?给大家留个作业吧(别告诉我是设计编程语言或者设计电脑的科学家规定的,计算机科学绝对不是文科)。

计算机中没有数轴,绝对值是如何定义的呢?看看java、C、Python的源码(感谢那些开源大牛),和咱们学的小学数学一样。

abs(x) :=  (x >= 0) ? x : -x

翻译过来就是,x的绝对值定义为:正数和0的绝对值等于它自己,负数的绝对值等于-x。(这里使用的是-x,而没有用0-x,因为在浮点数中,这两者是有区别的。)

三、深入 -x

那么 -x 是如何计算的呢? 计算是数学概念,在计算机中,我们应该说 -x是如何求值的呢?还得回到源码,我只看了linux中关于C的源码,如果你看过其它语言源码发现和我说的不同,请联系我。 学过计算机原理的都知道,负数在计算机中以补码形式存储,计算补码的方式和取反操作类似。

符号位不变,其它位取反,最后加一。

比如 -5

原码:       1000,0101
其它位取反:  1111,1010
加一:       1111,1011

当我们求它的绝对值时如何操作呢

补码:     1111,1011      这是-5在计算机中的表示
各位取反:  0000,0100
加一:     0000,0101      此时结果为+5

现在我们回到最小的负数问题,最小的负数在计算机中表示为 1000,000,下面我们对这个数操作

补码:     1000,0000
各位取反:  0111,1111
加一:     1000,0000

神奇吗,尼玛,居然又回到自己了。

继续阅读关于 的文章


欢迎订阅我的微信公众帐号,只推送原创文字。欢迎扫描二维码订阅:
justjavac微信公众帐号


无觅相关文章插件,快速提升流量
Fork me on GitHub